Uma poligonal é o contorno de um imóvel ou área descrito como uma sequência fechada de segmentos: você parte de um ponto inicial (com coordenadas conhecidas) e, pra cada vértice seguinte, sabe apenas o azimute (a direção, em graus, medida a partir do Norte, no sentido horário) e a distância até o próximo ponto. É assim que um caderno de campo de levantamento topográfico costuma registrar os dados — e é exatamente o que a Ferramenta de Poligonal do Zonea recebe como entrada.
1. De azimute/distância para coordenadas (E, N)
O primeiro passo é transformar cada segmento polar (azimute + distância) num deslocamento cartesiano, em coordenadas UTM — E (Este) e N (Norte). A fórmula é direta:
ΔE = distância × sen(azimute)
ΔN = distância × cos(azimute)
Some esse deslocamento ao ponto anterior pra achar o próximo: E₂ = E₁ + ΔE e N₂ = N₁ + ΔN. Repita isso pra cada segmento, sempre usando o ponto recém-calculado como referência do próximo — é um cálculo em cadeia, onde cada vértice depende do anterior.
2. Área — fórmula de Shoelace (Gauss)
Com todos os vértices já em coordenadas (E, N), a área do polígono fechado sai da fórmula de Shoelace (também chamada de fórmula da área de Gauss):
Área = ½ |Σ (Eᵢ × Nᵢ₊₁ − Eᵢ₊₁ × Nᵢ)|
Na prática: percorra os vértices em ordem (o último "volta" pro primeiro), multiplique cruzado cada par consecutivo, some tudo, divida por dois e tire o valor absoluto. Funciona pra qualquer polígono simples (sem lados que se cruzam), não só pra formas regulares.
3. Perímetro
Esse é o mais simples dos três: some a distância de cada segmento informado no caderno de campo. Não precisa recalcular a partir das coordenadas — a distância já é um dado de entrada.
Exemplo numérico completo
Um quadrado de 100 m de lado, rotacionado 45° (ou seja, "andando na diagonal" em relação aos eixos E/N), partindo do ponto inicial E=1000, N=1000:
| Segmento | Azimute | Distância | Ponto resultante (E, N) |
|---|---|---|---|
| Inicial | — | — | 1000,000 / 1000,000 |
| 1 | 45° | 100 m | 1070,711 / 1070,711 |
| 2 | 135° | 100 m | 1141,421 / 1000,000 |
| 3 | 225° | 100 m | 1070,711 / 929,289 |
| 4 | 315° | 100 m | 1000,000 / 1000,000 |
Aplicando Shoelace nesses quatro pontos: área = 10.000 m² — exatamente 100 × 100, como esperado de um quadrado. Somando os quatro segmentos: perímetro = 400 m. E o ponto final bate perfeitamente com o inicial, então o erro de fechamento é 0 m (na prática, com medições reais de campo, raramente é exatamente zero — veja o próximo artigo sobre isso).